将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而判明试验中各因素作用大小的一种统计方法。由英国统计学家费歇（F.A.Fisher，1923）首创。方差分析是畜牧试验和调查资料最常用的统计分析方法之一，其基本内容包括：①根据试验资料的数学模型，将总变异的平方和及自由度分解为不同变异来源的平方和及自由度，并由平方和除以自由度得出各变异来源的均方；②根据均方的理论组成，检验有关均方的显著性——F检验，以评定各变异因素效应的有无及其大小；③在F检验显著后，可进一步估计方差组分。对固定效应的各变异来源，还可进行多重比较。

方差分析的方法因试验设计及分组方式不同而有不同的形式。

设某试验K个处理，每个处理有n个观察值，其数据模式见表1。

表1 单向分组资料的模式

表1数据的线性模型为：

x_ij＝μ＋a_i＋ε_ij(i＝1,2,…,K;j＝1,2,…,n)

式中 μ为总体均数；a_i为处理效应，并满足Σa_i＝0，而ε_ij是随机误差，相互独立，且服从由于处理效应性质不同，又有固定模型和随机模型之分。固定模型是指因素水平是特别选定的，因而处理效应是固定的常量。随机模型是指因素水平是从一总体中随机抽出的，因而处理效应是随机的变量。在方差分析中，模型不同，各项变异的期望均方和F检验亦不相同。为区别计，处理效应方差在固定模型中以表示，在随机模型中以表示。根据上述线性模型，该资料的总变异可分解为处理间变异和随机误差两部分。各项平方和及自由度的计算公式为：

方差分析

方差分析

对于各组含量n不等的资料，在计算SS与df时，相应地改变为：

方差分析

上述结果的方差分析和期望均方列于表2。

表2 单向分组资料的期望均方（EMS）

无论固定模型或随机模型，检验处理效应的显著性，都应以误差均方为F检验的分母。

两向分组资料亦称交叉分组资料。这类资料又因各组合内有无重复观察值而分为两种。

无重复观察值的两向分组资料的方差分析

设有A和B两个因素，A因素分p个水平，B因素分q个水平，每一处理组合仅有一个观察值，则全试验共有pq个观察值，其数据模式列于表3。

表3资料的线性模型为：

x_ij＝μ＋a_i＋b_j＋ε_ij(i＝1,2,…,a;j＝1,2,…,b)

式中 μ为总体均数；a_i和b_j分别为因素A和B的效应，可以是固定模型或随机模型；ε_ij为随机误差，相互独立，且服从）。表3资料的总变异可剖分为A因素各水平的变异、B因素各水平的变异和试验误差三部分。其各项变异来源的平方和及自由度计算公式为：

表3 无重复观察值的两向分组资料的模式

方差分析

表3资料由于存在两种处理效应a_i和b_j，相互搭配，在固定和随机两种模型的基础上，又产生一种混合模型。各种模型的期望均方列于表4。

表4 各变异来源的期望均方

不论是固定、随机或混合模型的各因素效应的检验都应以误差均方MS_e作为F检验的分母。这种方法要求A、B因素间不存在互作，才能正确估计误差。若把B因素作为区组，则就为常见的随机区组设计试验。

有重复观察值的两向分组资料的方差分析

设有A和B两个因素，A因素有p个水平，B因素有q个水平，共有pq个处理组合，每个组合有n个重复，全试验共有pqn个观察值。这种资料的数据模式如表5。

表5资料的线性模型为：

x_ijr＝μ＋a_i＋b_j＋(ab)_ij＋ε_ijr(i＝1,2,…,p;j＝1,2,…,q;r＝1,2,…,n)

式中 μ为总体均数；a_i和b_j分别为因素A和B的效应，（ab）_ij为A×B的互作效应，即因素A和B间相互促进或抑制而产生的效应，ε_ijr为随机误差，相互独立，且服从）。该资料的总变异可分解为A因素各水平变异、B因素各水平变异、A、B两因素互作和试验误差四部分。各项变异来源的平方和及自由度计算公式为：

表5 有重复观察值的两向分组资料的模式

方差分析

方差分析

上述结果的方差分析和期望均方列于表6。

表6 表5资料的各变异来源的期望均方

表6的期望均方是正确进行F检验的依据。在固定模型时，检验H₀∶a_i＝0，H₀∶b_j＝0和H₀∶（ab）_ij＝0，都应以MS_e为分母；在随机模型时，检验H₀∶（ab）_ij＝0，以MS_e为分母，而检验H和H₀∶，都应以MS_A×B为分母。对于混合模型中效应的检验，同样应由期望均方作出选择。在上述检验中，首先应检验互作的显著性。如果互作不显著，则不论何种模型均可以MS_e为F检验的分母。

试验资料逐级向一个方向分组。如果先分为k组，每个组又分m个亚组，每个亚组具n个观察值，共有kmn个观察值，则为二级系统分组资料。这种资料的数据模式列于表7。

表7资料的线性模型为：

方差分析

式中 μ为总体均数；a_i为组效应或处理效应，可以是固定的或随机的，b_ij为亚组效应，一般为随机的，遵循N（0，σ²），而ε_ijr为随机误差，相互独立，且服从因此，表7数据的总变异可分解为组间变异、组内亚组间变异和随机误差三部分。各项平方和

表7 二级系统分组资料模式

方差分析

及自由度的计算公式为：

方差分析

方差分析表和期望均方列于表8。

表8 二级系统分组资料的期望均方

由表8期望均方可见，为检验组间效应，即检验或，应取MS_B为F检验分母；为检验各亚组间效应，即检验，应取MSe为F检验分母。

系统分组资料的形式在畜牧业中是常见的，例如一畜群中有几头公畜，每头公畜与配若干头母畜，并各产若干头仔畜。因而同一公畜不同母畜的后代间均为半同胞关系，同一母畜的后代间均为全同胞关系。利用这类资料估计各变异项的期望均方，我们就可以进行各种遗传分析和估测性状的遗传参数。如果每头公畜所配母畜数不等，每头母畜的子女数也不等，则在估计期望均方中，要先计算三个加权系数n₀、、mn₀。

方差分析

式中 n₀、为每头母畜平均子女数，mn₀为每头公畜平均子女数，S为公畜数，D为母畜总数，d为每头公畜与配母畜数，n_ij为各头母畜子女数，mn_j为各头公畜子女数，N为总子女数。

在F检验显著后，如要明确各处理均数间的差异显著性，还需进一步作多重比较。其比较方法较多，目前常用的有最小显著差数法（LSD法）和最小显著极差法（LSR法）。若采用LSD法于多重比较，则将平均数差异的绝对值与最小显著差数比较，在α水平上作出差异是否显著的推断。其中，t_α为临界t值，为均数差异标准误，。若采用LSR法（此法包括新复极差法与q法）于多重比较，则将平均数差异的绝对值与最小显著极差（新复极差法）或·（q法）作比较，在α水平上作出差异是否显著的推断。其中，或_）是根据平均数差数两极差范围内所包含的处理数——秩次距K，误差自由度df_e，从SSR表或q表中查出临界SSR值或q值，为均数标准误，。

方差分析是当今统计分析中应用最广的一种统计方法。进行方差分析要以一定的数学模型为基础。建立这种模型有三个基本假定：①处理效应和误差效应是可加的；②试验误差是独立的随机变量，其分布是正态的；③各处理的误差方差是同质的。如有的资料不能满足这三个假定，则可将资料作适当的数据转换后再作方差分析，或采用非参数方法分析。